2008屆高考數學概念方法題型易誤點技巧總結(二)函數 - 下載本文

2008屆高考數學概念方法題型易誤點技巧總結(二)函 數

1.映射f: A?B的概念。在理解映射概念時要注意:

⑴A中元素必須都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如 (1)設f:M?N是集合M到N的映射,下列說法正確的是 A、M中每一個元素在N中必有象 B、N中每一個元素在M中必有原象 C、N中每一個元素在M中的原象是唯一的 D、; N是M中所在元素的象的集合(答:A)(2)點(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b),則在f作用下點(3,1)的原象為點________(答:(2,-1)); (3)若A?{1,2,3,4},B?{a,b,c},a,b,c?R,則A到B的映射有 個,B到A的映射有 個,; A到B的函數有 個(答:81,64,81)(4)設集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5},映射f:M?N滿足條件“對任意的x?M,x?f(x)是奇數”,這樣的映射f有____個(答:12); (5)設f:x?x2是集合A到集合B的映射,若B={1,2},則A?B一定是_____(答:?或{1}). 2.函數f: A?B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數集!據此可知函數圖像與x軸的垂線至多有一個公共點,但與y軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個。如

(1)已知函數f(x),x?F,那么集合{(x,y)|y?f(x),x?F}{(x,y)|x?1}中所含元素的個數有 個(答: 0或1); (2)若函數y?12x?2x?4的定義域、值域都是閉區間[2,2b],則b= (答:2) 2 3. 同一函數的概念。構成函數的三要素是定義域,值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定,因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時,它們一定為同一函數。如

若一系列函數的解析式相同,值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數為“天一函數”,那么解析式為y?x2,值域為{4,1}的“天一函數”共有______個(答:9) 4. 求函數定義域的常用方法(在研究函數問題時要樹立定義域優先的原則):

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(1)根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零,分母不能為零,對數logax中x?0,a?0且

a?1,三角形中0?A??, 最大角?x?4?x?lg?x?3?2??,最小角?等。 33如(1)函數y?的定義域是____(答:(0,2)(2,3)(3,4)); (2)若函數y?kx?7?3?0,?); 的定義域為R,則_______(答:k??kx2?4kx?3?4?(3)函數f(x)的定義域是[a,b],b??a?0,則函數F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是__________(答:[a,?a]); (4)設函數f(x)?lg(ax2?2x?1),①若f(x)的定義域是R,求實數a的取值范圍;②若f(x)的值域是R,求實數a的取值范圍(答:①a?1;②0?a?1) (2)根據實際問題的要求確定自變量的范圍。

(3)復合函數的定義域:若已知f(x)的定義域為[a,b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式

a?g(x)?b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域,相當于當x?[a,b]時,求

。如 g(x)的值域(即f(x)的定義域)

?1?(1)若函數y?f(x)的定義域為?,2?,則f(log2x)的定義域為__________(答:x|2?x?4); ?2???(2)若函數f(x2?1)的定義域為[?2,1),則函數f(x)的定義域為________(答:[1,5]). 5.求函數值域(最值)的方法:

(1)配方法――二次函數(二次函數在給出區間上的最值有兩類:一是求閉區間[m,n]上的最值;二是求區間定(動),對稱軸動(定)的最值問題。求二次函數的最值問題,勿忘數形結合,注意“兩看”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系),如

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(1)求函數y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域(答:[4,8]); (2)當x?(0,2]時,函數f(x)?ax2?4(a?1)x?3在x?2時取得最大值,則a的取值范圍是___1(答:a??); 2(3)已知f(x)?3x?b(2?x?4)的圖象過點(2,1),則F(x)?[f?1(x)]2?f?1(x2)的值域為______(答:[2, 5]) (2)換元法――通過換元把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數,其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型,如

(1)y?2sin2x?3cosx?1的值域為_____(答:[?4,17; ])8 (2)y?2x?1?x?1的值域為_____(答:(3,??))(令x?1?t,t?0。運用換元法時,要特別要注意新元t的范圍); 1(3)y?sinx?cosx?sinxcosx的值域為____(答:[?1,?2]); 2(4)y?x?4?9?x2的值域為____(答:[1,32?4]); (3)函數有界性法――直接求函數的值域困難時,可以利用已學過函數的有界性,來確定所求函數的值域,最常用的就是三角函數的有界性,如

3x2sin??12sin??113求函數y?,y?,的值域(答: 、(0,1)、; y?(??,](??,])x1?31?sin?1?cos?22 (4)單調性法――利用一次函數,反比例函數,指數函數,對數函數等函數的單調性,如

1980x?5求y?x?(1?x?9),y?sin2x?,的值域為______(答:(0,)、y?2?logx?132x1?sinx911; [,9]、[2,10])2(5)數形結合法――函數解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離、直線斜率、等等,如

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(1)已知點P(x,y)在圓x2?y2?1上,求33y,]、[?5,5])及y?2x的取值范圍(答:[?; 33x?2(2)求函數y?(x?2)2?(x?8)2的值域(答:[10,??)); [43,??)、(3)求函數y?x2?6x?13?x2?4x?5及y?x2?6x?13?x2?4x?5的值域(答:(?26,26))注意:求兩點距離之和時,要將函數式變形,使兩定點在x軸的兩側,而求兩點距離之差時,則要使兩定點在x軸的同側。 (6)判別式法――對分式函數(分子或分母中有一個是二次)都可通用,但這類題型有時也可以用其它方法進行求解,不必拘泥在判別式法上,也可先通過部分分式后,再利用均值不等式: ①y?b型,可直接用不等式性質,如 2k?x求y?33的值域(答:(0,]) 2?x22 ②y?bx型,先化簡,再用均值不等式,如 2x?mx?nx1的值域(答:; (??,])21?x2x?21的值域(答:[0,]) x?32 (1)求y?(2)求函數y?x2?m?x?n?③y?2型,通常用判別式法;如

x?mx?nmx2?8x?n已知函數y?log3的定義域為R,值域為[0,2],求常數m,n的值(答:m?n?5) x2?1 x2?m?x?n?④y?型,可用判別式法或均值不等式法,如

mx?nx2?x?1求y?的值域(答:(??,?3][1,??)) x?1 (7)不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函數的最值,其題型特征解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如

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(a1?a2)2設x,a1,a2,y成等差數列,x,b1,b2,y成等比數列,則的取值范圍是____________.(答:b1b2。 (??,0][4,??)) (8)導數法――一般適用于高次多項式函數,如

求函數f(x)?2x3?4x2?40x,x?[?3,3]的最小值。(答:-48) 提醒:(1)求函數的定義域、值域時,你按要求寫成集合形式了嗎?(2)函數的最值與值域之間有何關系?

6.分段函數的概念。分段函數是在其定義域的不同子集上,分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數,它是一類較特殊的函數。在求分段函數的值f(x0)時,一定首先要判斷x0屬于定義域的哪個子集,然后再代相應的關系式;分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集。如

2??(x?1).(x?1)(1)設函數f(x)??,則使得f(x)?1的自變量x的取值范圍是__________(答:??4?x?1.(x?1); (??,?2][0,10])(x?0)?1  3(2)已知f(x)??,則不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________(答:(??,]) 2(x?0)??1  7.求函數解析式的常用方法:

(1)待定系數法――已知所求函數的類型(二次函數的表達形式有三種:一般式:

f(x)?ax2?bx?c;頂點式:f(x)?a(x?m)2?n;零點式:f(x)?a(x?x1)(x?x2),要會根據已知條

件的特點,靈活地選用二次函數的表達形式)。如

已知f(x)為二次函數,且 f(x?2)?f(?x?2),且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為22,求f(x)的解析式 。(答:f(x)?12x?2x?1) 2 (2)代換(配湊)法――已知形如f(g(x))的表達式,求f(x)的表達式。如

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